MÉTODO DE ACEPTACIÓN O RECHAZO - EJEMPLO part 2

MÉTODO DE ACEPTACIÓN O RECHAZO - EJEMPLO part 1

Usar el método de aceptación o rechazo para generar variables aleatorias a partir de una distribución triangular representada por

MÉTODO DE ACEPTACIÓN O RECHAZO - II

Nótese que e! algoritmo continúa de regreso ai paso 2 hasta que se acepte una variable aleatoria: Para ello se pueden necesitar varias iteraciones. Por este motivo, el algoritmo puede ser relativamente ineficaz. Sin embargo, la eficacia depende mucho de la forma de la distribución. Hay varios modos mediante los cuales se puede hacer más eficaz al método. Uno de ellos es emplear una función en c paso 1, en lugar de una constante. Véase Fishman (1978) o Law y keüon (1982), que presentan los detalles del algoritmo. A continuación mostraremos los detalles del algoritmo mediante una función de rampa. Se tiene una variable aleatoria X cuya función de distribución de probabilidad está representada por

MÉTODO DE ACEPTACIÓN O RECHAZO - I

Hay varías distribuciones importantes, incluyendo la de Erlang que se usa en modelos de cola, de espera v la función beta, que se usa en PERT, cuyas fundones de distribución acumulada no existen en forma cerrada. Para esas distribuciones debemos recurrir a otros métodos de generación de variables aleatorias, uno de los cuales es el de aceptación o rechazo. Este método se usa en general para distribuciones cuyos dominios estén definidos en intervalos finitos. Así, dada una distribución cuya función de distribución de probabilidad. J{x) esté definida en el intervalo a á .v <; b, el algoritmo consiste en los pasos siguientes:

Ejemplo Distribución triangular Part 4

Para completar el cuadrado, dividimos primero el coeficiente del término en X entre 2. Con ello obtenemos - 6. Luego, elevamos al cuadrado este valor para obtener 36. Por último, sumamos este resultado a ambos miembros de la ecuación, Con ello obtenemos

Ejemplo Distribución triangular Part 3

Figura 10 Función de distribución de probabilidad de acumulada para una distribución triangular

Ejemplo Distribución triangular Part 2

Figura 9 Función de densidad para una distribución triangular

La función de distribución acumulada para este caso es

Ejemplo Distribución triangular Part 1

EJEMPLO 4 Distribución triangular Se tiene una variable aleatoria X cuya función de densidad de probabilidad es

Ejemplo de Distribución uniforme

EJEMPLO 3 Distribución uniforme Se tiene una variable aleatoria X que se distribuye uniformemente en el intervalo (a,b)La función de distribución de probabilidad para este caso está representada por

Ejemplo de la distribución exponencial Part 2

sacando logaritmo natural en ambos lados tenemos que

Ejemplo de la distribución exponencial Part 1

EJEMPLO 2 La distribución exponencial Como se mencionó, la distribución exponencial tiene aplicaciones importantes en la representación matemática de los sistemas de cola de espera. La función de distribución de probabilidad para esta distribución exponencial está representada por

MÉTODO DETRANSFORMACIÓN INVERSA - III

Figura 8 Representación gráfica del método de transformación inversa

MÉTODO DETRANSFORMACIÓN INVERSA - II

Figura 7 Función de distribución de probabilidad en rampa

Esta función de distribución acumulada se representa mediante la función

MÉTODO DETRANSFORMACIÓN INVERSA - I

Este método se usa, por lo general, para distribuciones cuya función de distribución acumulada se pueda obtener en forma cerrada. Los ejemplos comprenden las distribuciones exponencial, uniforme, triangular y de Wcibull. Para distribuciones cuya función de distribución acumulada no existe en forma cerrada, se podrá usar algún método numérico, como ¡a expansión en serie de potencias, dentro del algoritmo para evaluar la función. Sin embargo, es probable que esto complique el procediendo a tal grado que resulte mejor usar un algoritmo distinto para generarlas aleatorias. El método de transformación inversa es relativamente fácil - describir y de ejecutar. Consiste en los tres pasos siguientes:

SIMULACIONES CON VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Los ejemplos de simulación que se han presentado sólo usan distribuciones de probabilidades discretas para las variables aleatorias. Sin embargo, en muchas simulaciones es más realista y práctico usar variables aleatorias continuas. En esta sección presentaremos y describiremos algunos procedimientos para generar cantidades aleatorias a partir de distribuciones continuas. 

El principio básico es muy semejante al caso discreto. Como en el método discreto, generamos primero un mímelo aleatorio transformamos en una cantidad aleatoria de acuerdo con la distribución especificada. Sin embargo, el proceso para llevar a cabo la transformación es bastante distinto del caso discreto. Hay muchos métodos diferentes para generar cantidades aleatorias continuas. 

La selección de un algoritmo determinado dependerá de la distribución de la cual deseamos generar, teniendo en cuenta factores tales como la exactitud de las variables aleatorias, las eficacias de-cómputo y de almacenamiento, y la complejidad del algoritmo. 

Los dos algoritmos que más se usan son el método de transformación inversa y el de aceptación o rechazo. Entre esos dos, es posible generar variables aleatorias a partir de casi cualquiera de las distribuciones que más se usan. Presentaremos una descripción detallada de ambos algoritmos, junto con varios ejemplos de cada método. Además, daremos dos métodos para generar variables aleatorias a partir de una distribución normal.

EJEMPLO DE SIMULACIÓN DE MONTE CARLO - solución part 2

aceptar el margen como verdaderamente representativo. Estos lemas estadístico, se describen más adelante. Mientras tanto, hemos evaluado políticas distintos para este problema mediante un modelo de simulación en una computadora. Los resultados de esas políticas se presentan en la Tabla 11. Vemos que la mejor política para la panadería de Pierre es hacer 72 panes diarios. Esta tabla también compara los resultados de la simulación con ia solución exacta de cada política Puede o ver que la simulación hace un trabajo notable para converger haca la solución correcta. La cercanía de las dos soluciones no es totalmente inesperada, porque el médelo de simulación se ejecutó para 10 000 días de cada política.

EJEMPLO DE SIMULACIÓN DE MONTE CARLO - solución part 1

Solución Para resolver este problema por simulación necesitamos evaluar diversas políticas. En este caso, definiremos una política como ci número de panes que se debe hornear cada día. Cada política dada se evalúa entonces durante un periodo fijo para determinar su margen de ganancias. La política que produzca las mayores ganancias se escoge como la mejor.
En el proceso de simulación se obtendrá primero un procedimiento para generar la demanda del día: márgenes de utilidad del conjunto de días para obtener la ganancia esperada por día de esa política. Nótese que el procedimiento de esta simulación es distinto al de la simulación de cola de espera porque 110 evoluciona del mismo modo a través del tiempo. En este caso, cada día es una simulación indep "diente.
A estas simulaciones se les llama simulaciones de Monte Cario. Para dar un ejemplo de este procedimiento, en la Tabla 10 presentamos una simulación manual de los primeros 15 días para una política en la que se hacen 60 panes por día. De acuerdo con esta tabla, la demanda tanto para el día 1 como para el 2 son 60 panes. Los números aleatorios que se usaron en este ejemplo se obtuvieron de la Tabla 5. Esta demanda genera un ingreso de 24.00 dólares en cada uno de estos días.
Como cuesta 15.00 dólares fabricar estos panes, nuestro margen de utilidad para cada uno de los primeros 2 días es 9.^0 dólares En el día 3, la demanda es 72, lo cual representa una escasez de 12 panes. Como se ve en la tabla, el margen de utilidad para el día 3 es 24.00 - 15.00 - 1.S0 = 7.20 dólares. E11 el día 4 generamos una demanda de 48. Como nuestra política es hacer 60 panes, sobraran 12. Los 48 panes que vendimos sólo nos generan ingresos por 19.20 dólares. Sin embargo, los 12 panes que sobraron representan 1.20 dólares adicional de ingreso por valor de recuperación, y entonces la utilidad es 19.20 + 1.20 - 15.00 = 5.40 dólares para el día 4.

EJEMPLO DE SIMULACIÓN DE MONTE CARLO

En esta sección se usa la técnica Monte Cario para simular un problema de vendedor de diarios ( La panadería Pierrc hace y vende pan francés. Cada mañana, la panadería satisface la demanda del día con pan recién horneado. Pierre puede hacer el pan ú...camcntc en loies de una docena de panes. Cada pan licué un costo de fabricación de 25c de dólar. Supondremos, por simplicidad, que la demanda diaria total de pan también se presenta en múltiplos de 12. 

Los dalos demuestran que esta demanda varía de 36 a 96 panes diarios. Un pan se vende a 40c de dólar y si sobra pan al final del día se vende a una cocina de beneficencia a un precio de recuperación de 10c de dólar por pan. Si la demanda es mayor que la oferta, suponemos que hay un costo por ganancia perdida de 15c de dólar/pan, debido a la pérdida de clientes que van con los competidores, etc. Los registros de la panadería muestran que la demanda diaria se puede clasificar en tres tipos: alta, media y baja. 

Estas demandas se presentan con probabilidades de .30, .45 y .25, respectivamente. La distribución de la demanda por categorías aparece en h Tabla 7. Pierre quisiera determinar ci número óptimo de panes que debe hacer cada día para maximizar la ganancia (ingresos + ingresos de re- cuperación - costo de fabricación - costo de ingresos perdidos).

NÚMEROS ALEATORIOS Y SIMULACIÓN DE MONTE CARLO - V

Enseguida se abordará una etapa más del método de muestreo de Monte Cario y se creará un procedimiento por medio de números aleatorios generados en una computadora. La idea es transformar los números aleatorios Í/(0,1) en números aleatorios enteros entre 00 y 99 y, a continuación, usarlos para lograr la segmentación por números. La transformación es un procedimiento relativamente directo. Si se multiplican los números aleatorios (0,1) por 100, quedarán distribuidos uniformemente entre los límites de Ü a 100. Entonces, si se elimina la parte fraccionan del miro o, el resultado serán enteros entre 00 y 99 con igual probabilidad. 

 

NÚMEROS ALEATORIOS Y SIMULACIÓN DE MONTE CARLO - IV

Cada número aleatorio que se genera con este método será un decimal entre 0 y 1. Nótese que aunque es posible generar un cero, un número aleatorio no puede ser igual a 1. Los números aleatorios que se generan con métodos de congruencia se llaman números pseudoaleatorios. No son números aleatorios verdaderos en el sentido técnico, porque quedan determinados por completo una vez que se define la relación de recurrencia y se especifican los parámetros del generador. Sin embargo, si se seleccionan con cuidado los valores de a, c, m y Xo, se puede hacer que los números pseudoaleatorios cumplan con todas las propiedades estadísticas de los números aleatorios. 

Además de las propiedades estadísticas, los generadores de números aleatorios deben tener otras características importantes si se van a usaren forma eficaz en simulaciones con computadora. Algunas de estas características son (1) la rutina debe ser rápida; (2) la rutina no debe necesitar un gran espacio de almacenamiento; (3) los números aleatorios deben ser reproducibles, y (4) la rutina debe tener un ciclo suficientemente largo; esto es, debemos poder generar una sucesión larga sin repetir los números aleatorios. Hay un aspecto importante que vale la pena mencionar aquí. La mayor parte de los lenguajes de programación tienen funciones interconstruidas que dan números aleatorios o pseudoaleatorios en forma directa. 

Por lo tanto, la mayoría de los usuarios sólo necesitan conocer la función de biblioteca en determinado sistema. En algunos sistemas el usuario puede tener que especificar un valor de la semilla Xo, pero no es probable que tenga que elaborar un diseño de un generador de números aleatorios. Sin embargo, para más informes, el lector que se interese puede consultar el libro de Banks y Carson (1984), el de Knuth (1969) y el de Law y Kelton (1982).

NÚMEROS ALEATORIOS Y SIMULACIÓN DE MONTE CARLO - Ejemplo