lunes, 30 de septiembre de 2013

Modelos dinámicos, sin costo fijo, entrega inmediata, satisfacción diferida de demanda y valor de salvamento del inventario final - III

donde G (K,) es convexa. La suma de funciones convexas es a su vez convexa (ver apéndice B, volumen 1) y por lo tanto 2.75 tiene un mínimo único (ver apéndice A, volumen 1). Veinotf [ 103] demuestra que el mínimo de esa función es un punto Y*, que se deriva de la solución de
La política óptima para el problema estocástico dinámico de N periodos, la proporciona un solo valor crítico, Y*, (a diferencia de Avalores críticos
Este tipo de concepto se ha aplicado a modelos de reemplazo por Prawda y Wright [96—4].

Modelos dinámicos, sin costo fijo, entrega inmediata, satisfacción diferida de demanda y valor de salvamento del inventario final - I

En las secciones pasadas se supuso que si el inventario al Finalizar los N periodos era positivo, no tenía ningún valor de salvamento, y de ser negativo en ese último periodo, la venta se perdía (no había satisfacción diferida de demanda a periodos futuros a un cierto costo penal). 
En esta sección se supone que al finalizar el último periodo, el inventario positivo que se tenga se podrá vender a un precio de salvamento de c pesos por unidad (igual al precio unitario de producción o reorden), y que un inventario negativo al finalizar el último periodo puede diferir la satisfacción de su demanda a periodos futuros a un costo penal de c pesos por unidad.
Esta suposición simplifica enormemente la política óptima para sistemas de inventarios estocásticos dinámicos. Lo que a continuación se expone se debe a un trabajo de Veinott [103]. Se consideran A periodos (Ar> 0). El costo total esperado penal y de mantenimiento, L (Y), se supone estrictamente convexo. El costo unitario de compra, c, es lineal. Sean X1 y Y. el inventario antes y después de tomar una decisión de producción o reorden, en el periodo i, 1 = 1, 2, . .., N. Sea Xi y Yi la variable aleatoria que indica la demanda en el periodo i, i = 1,2,..., Ar, la cual se supone independiente, y con una misma distribución conocida
0, para todo , i = 1,2,..., Ar. Sea a, 0 < a < 1, el factor de descuento. Entonces
es el costo total descontado, de producción o reorden para Ar periodos, donde el término aNc(YN - £N) es el ingreso (costo negativo) derivado de la venta del inventario que se queda (el término YN -£v), al finalizar el último periodo (valor de salvamento).

domingo, 29 de septiembre de 2013

Modelos dinámicos, sin costo fijo, entrega inmediata, satisfacción diferida de demanda y valor de salvamento del inventario final - II

la expresión 2.70 se puede reescribir como
que una vez desarrollada y reagrupada se puede formular como
El valor esperado del costo total descontado de producción o reorden 2.72 es
que por las propiedades de valor esperado (ver el apéndice A, de este volumen), se reescribe como
La cantidad que se representa dentro de las llaves { } no depende de las variables de decisión Y1, Y2,..., YN y por lo tanto puede eliminarse del proceso de optimización (minimización). Agregando el costo esperado de penalización y mantenimiento a la parte que no se elimina de 2.73, se tiene que la política óptima se deriva al resolver
2.74 se convierte en

Sin demanda diferida, entrega inmediata, sin costo fijo

En la sección anterior se estableció la función recursiva, correspondiente al caso dinámico (multiperiodo) estocástico, con satisfacción diferida de demanda a periodos futuros, entrega inmediata y sin costo fijo. Esta función recursiva, de resolverse (lo cual es muy difícil en la práctica), determina la política óptima de producción o reorden que genera el costo mínimo. La función recursiva, para cualquier periodo t, t = 1,2, . . . ,N es
con Ct+l (Xt +, ) = 0 como condición inicial. Para el caso en que no se permita diferir la demanda a periodos futuros (se pierde la venta si no se tiene suficiente inventario en existencia), la función recursiva que resuelve este caso es similar a la anterior. Cuando £ excede al inventario Yt, se tiene que Xt + l = 0, significando que la demanda insatisfecha se pierde como una venta y no genera ninguna utilidad. En tal caso la función recursiva que genera la política óptima (de llegarse a resolver en la práctica) es:

sábado, 28 de septiembre de 2013

Demanda diferida, entrega inmediata, sin costo fijo - Ejemplo Part 3

Se supone que la demanda en el primer periodo es E1 con una distribución 0 (£). Por lo tanto, el inventario X2 a principios del periodo 2, antes de tomar una decisión, es igual a X2= Y1 – E1 Si se sigue una política óptima del principio del periodo 2 hasta el final del periodo N (donde el inventario que se queda en este último periodo no tiene valor de salvamento), el costo total esperado óptimo, ya descontado es
La función recursiva sería
De la expresión anterior se puede establecer la función recursiva para cualquier periodo t, t = 1, 2, . . . , N
Arrow, Karlin y Scarf probaron entre otras cosas, lo siguiente: a) la política óptima para cada periodo la proporcionan los números críticos Y1 * Y2 *, . . . , Y*n _ l, Y*n, tal que
donde Y* satisface

Demanda diferida, entrega inmediata, sin costo fijo - II

Para el periodo 2 únicamente, la política óptima a seguir sería:
Para el periodo 1, se tiene lo siguiente: el costo de producción o reorden dado por c (Y1 – X1), el costo total esperado de mantenimiento y penal L (Y1) y el costo esperado del periodo 2, es decir, E { C2 (X2) }. Esto es:
donde E { C2 (Ar2) }se obtiene de la siguiente manera: el inventario al principio del segundo periodo, antes de tomar una decisión, X2, es una variable aleatoria que depende del inventario después de tomar una decisión al final del periodo 1, Y1, menos la demanda en ese periodo, dado por E1 , es decir: X2 = Y1 – E1 , por lo que utilizando 2.59 queda
Como C2 (X2 ) es aleatorio, su valor esperado se obtiene de
Esto origina que C1 (X1) se exprese como
Se puede demostrar [2] que la expresión entre llaves { } es estrictamente convexa, por lo que existe un mínimo único dado por y1 *. Si se introduce el factor de descuento a, lo único que cambiaría es la expresión 2.60, quedando como:
que podría expresarse en forma similar a la 2.63. En todo caso la solución de 2.63 o 2.64 (una expresión toma en cuenta el factor de descuento y la otra no) genera un número crítico Y1 *, tal que la política óptima a seguir es:

viernes, 27 de septiembre de 2013

Demanda diferida, entrega inmediata, sin costo fijo - Ejemplo Part 2

Esta ecuación tiene 2 raíces (una positiva y otra negativa)por lo que eliminando a la negativa, se tiene:
La política óptima sería la siguiente
En caso de que la producción o reorden deba hacerse en unidades enteras, se convertirá Y1 *= 5.42 a un número entero (en este caso 5 ó 6). Para decidir, se evalúa C, (A,) para Y1*= 5 y para Y,* = 6 y se toma el menor. En este caso C, (X,) es menor para Y¡ * = 5. En la política óptima, X1 significa el inventario que se tiene a la mano en el periodo 1 antes de tomar una decisión;X2 , el inventario a la mano en el periodo 2 antes de tomar una decisión. El concepto anterior trabaja si se tienen costos penales y de mantenimiento unitarios que varían en cada periodo. Se extiende a continuación el concepto para N periodos (N > 2), bajo las mismas hipótesis adoptadas para el caso de dos periodos. Se define C1 (X1) como el costo total óptimo para los periodos 1,2, ... ,N, cuando el inventario que se tiene a la mano antes de tomar una decisión es A, unidades; C2 (X2) es el costo total óptimo para los períodos 2, 3, ... , N, cuando el inventario que se tiene a la mano antes de tomar una decisión es X2 unidades, y así sucesivamente se definen C3 (X3 ),...,CN-1 (XN-1), CN (XN ). Al principio .del primer periodo, se decide ordenar o producir Y1 –X1 unidades (Y1 > X1), y el costo que se genera es
donde

Demanda diferida, entrega inmediata, sin costo fijo - I

Se supone que existen N periodos (N > 0 y finito), la producción o reorden es inmediata, no existe un costo fijo, la demanda insatisfecha se difiere a periodos futuros pagando un costo penal determinado (a excepción del último periodo, donde esto no se puede hacer), el inventario al final de N periodos no tiene valor de reventa, la demanda de los N periodos (£,, £2, • • • , ) son variables aleatorias independientes con idéntica distribución de probabilidad (£)>0. Sea a el factor de descuento, 0 < a < 1. Se analizan dos periodos y se generaliza después a N periodos (N > 2).
Sea C1 (X1) el costo esperado de seguir una política óptima (costo mínimo) del principio del periodo 1 al final del periodo 2, dado que existen unidades en inventario antes de tomar una decisión. Sea C2 (A2), el costo esperado de seguir una política óptima, o de costo mínimo, durante el periodo 2, dado que existen A2 unidades de inventario, antes de tomar una decisión en ese periodo. De acuerdo con la programación dinámica, el costo óptimo de ambos periodos lo dará C, (A,). Sin embargo, empleando un enfoque de salida a entrada, se calcula primero C2 (A2) y después, en forma recursiva, C, (A!). Sea
el costo esperado de mantenimiento y penal. Si tanto h (.) y p (.) son lineales y 0 (E) > 0 entonces L (w) es estrictamente convexo. Se define a C2 (X2) como
donde el valor Y* se obtiene de resolver
es decir, de encontrar la condición necesaria y suficiente para el mínimo, tal como se hizo en la sección 2.3.1, de los modelos estocásticos estáticos.

jueves, 26 de septiembre de 2013

Demanda instantánea con costos fijos - Ejemplo Part 2

Substituyendo términos en
se obtiene
Resolviendo esta ecuación se obtienen las dos raíces
Como s2 = 18 > S = 8, se rechaza y se elige S, = - 2, que, sin embargo, es negativo y al estar E { C (Y) } definido para valores de Y > O, se toma el valor í = 0. La política sería entonces la siguiente: si el inventario X que se tiene a la mano antes de ordenar es menor o igual a cero, se ordenan 8 - X, y si es mayor a cero, no se ordena nada . Gráficamente se tiene

Modelos dinámicos

En esta sección se extiende la teoría de inventarios estocásticos a los casos en que las decisiones de compra o producción pueden hacerse en vanos periodos de tiempo y la demanda en cada uno de éstos (E1, E2, • • •, £N) es una variable aleatoria independiente, con la misma distribución de probabilidad. Como se vio en el capítulo de programación dinámica, si se tienen TV periodos de tiempo, lo óptimo no consiste en repetir .V veces la política óptima para un periodo de tiempo (sección 2.3.1). 
Las políticas óptimas son mucho más complejas y se encuentran mediante la aplicación de la programación dinámica al caso estocástico. Se analizarán, para un número finito de periodos, modelos bajo una combinación de las siguientes condiciones:

a)   Con y sin satisfacción diferida de demanda a periodos futuros
b)   Con tiempo de entrega nulo y positivo
c)   Con y sin reventa del inventario final
d)   Con y sin producción o reorden en lotes.

Para estos modelos se supone que no existe un costo fijo, ya que su inclusión da expresiones matemáticas que, computacionalmente, son muy difíciles de resolver. Como la explicación se complica si se habla de varios periodos, se presenta la solución de los modelos para dos y, después, se discutirá sucintamente el caso de N periodos (N > 2). 
En modelos de este tipo, hay que tomar en cuenta el costo del dinero, o sea el poder de compra que un peso de hoy tendrá dentro de N años; a esto se le llama factor de descuento y se representa por a (0 < a < 1). Este factor de descuento es igual a 1/(1 + i), donde i es el interés anual imperante en el sector financiero. Así, si se tienen P pesos hoy, su valor descontado N periodos al futuro es c/1 P (para mayor información al respecto consultar López {151 }, Grant-Ireson {150}y Tavlor {152}).

miércoles, 25 de septiembre de 2013

Demanda instantánea con costos fijos - Ejemplo Part 1

Ejemplo 
Suponga un artículo de consumo instantáneo, que tiene una producción única y cuyo costo fijo de producción es de K = $ 25. El costo unitario de mantenimiento es h = $ 0.50, el costo unitario penal es p = $ 4.50 y el costo unitario de producción es c = $ 0.50. La demanda tiene una distribución dada por
Para obtener el valor de 5, se resuelve
Para encontrar el valor de S, se resuelve
Si primero se trabaja la ecuación general E { C (t) }y después se substituyen términos, el cálculo resulta más fácil:

Demanda instantánea con costos fijos - II

Si se denota a Y* por S, se define al punto s como aquel que satisface la ecuación
con s < S, se tiene el siguiente análisis: dado X, el inventario que se tiene antes de ordenar o producir, se investigan 3 casos:
Si X < s, en la figura 2.15 se observa que, si- no se ordena, el costo total esperado de no ordenar E { C (X) }es mayor al costo total esperado de ordenar una cantidad adicional Y — X (Y > X), siempre y cuando esta cantidad adicional no sobrepase el punto 5, es decir:
Por lo tanto, si X Si S < X, el costo total esperado de no ordenar es menor al costo esperado de ordenar:
Por lo tanto, la política óptima, conocida como política (s, S) es: "Si se tienen X unidades en inventario y X < s se ordenan o producen S - X unidades, mientras que si X > s no se ordena o produce nada".

martes, 24 de septiembre de 2013

Demanda instantánea con costos fijos - I

Supóngase condiciones similares alas dadas en la sección Consumo instantáneo, sin costo fijo, entrega inmediata pero con un costo fijo K. El costo total esperado, cuando la demanda £ tiene una distribución 0 (£), Y es el inventario después de ordenar o producir y X es el inventario antes de tomar una decisión, es
tal como se hizo con anterioridad. Ahora bien, como K es una constante, E { C (Y) }y E { C (Y) } deben tener el mismo mínimo Y*, como se ilustra en la figura 2.15.

Consumo uniforme, sin costo fijo, entrega inmediata - Ejemplo

Ejemplo . Supóngase un producto con demanda aleatoria de consumo uniforme distribuida de la siguiente forma:
La solución de esta última ecuación, a base de un método de prueba y error es Y* = 4.5. Por lo tanto, si el inventario que se tiene, X, es menor de 4.5 unidades se ordenan o producen 4.5 — X unidades, mientras que si X > 4.5 no se ordena o produce nada. Si la demanda hubiera sido de consumo instantáneo, con la misma distribución y los mismos costos, el punto crítico Y* sería igual a 8 (verifíquelo).